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柯西中值定理咋用?

2023-10-07 11:38:32 编辑:join 浏览量:556

柯西中值定理咋用?

柯西中值定理咋用?

虽然说Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广,可是你观察它们衫没悄的最常见证明方法可以发现,它们都可以通过Rolle定理独立证明,不过是构造的辅助函数不同而已。而事实上,用Lagrange中值定理显然可以推出Rolle定理。可以归结出这样的推导关系:Rolle定理→Cauchy中值定理(Lagrange中值定理)→Lagrange中值定理→Rolle定理。因此它们在逻辑上是等价的,不过用于解决问题时的简繁程度不同。你要相信,所有用Cauchy中值定理可以解决的问题,用Rolle定理也可以解决,不过思路可能复杂一些。如,设b>a>0,f(x)在[a,b]连续、(a,b)可导,证明有c∈(a,b),使得2c[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(c)。证:参考Cauchy中值定理的标准形式,令g(x)=x^2即可。注意这里b>a>0保证了g’(x)=2x≠0以及b^2-a^2≠0。上面这道题当然非常简单(就是直接套公式)。它还可以通过构造函数F(x)=(b^2-a^2)f(x)-[f(b)-f(a)]x^2来证明。这时F(a)=f(a)b^2-f(b)a^2=h(b),那么由Rolle定理知存在c∈(a,b)使得h’(c)=0,这就是要证明的。这个解法不过是套用了Cauchy中值定理证明过程。公式的作用就是节省人们的思考或计算的时间,但这需要对公式熟练运用。最重要的是观察或渣。像上面这道简单的例题一类的存在性问题,很容易看出端倪的,关键就在于观察哪个东西跟公式里的g(x)比较像(看g(x)和g’(x))。常见的函数,lnx,e^(x)甚至e^(h(x))等。另外,有可能一些不等式问题的中间过程要用到Cauchy中值定理(之后进行一定程度的放缩),你应该可以想到。至于你提到的极值问题,我不知道是什么意思。微分中值定理(Lagrange、Cauchy)对于一元微分学体系的发展和完善有重要的意义,其意义察如是理论上的。平时题目考察的只是对公式的变形使用。两个词,观察和熟练度。我认为你看一看【用Cauchy中值定理证明洛必达法则】的过程会对理解有帮助。我觉得这是Cauchy中值定理除了几何解释外另一个很美妙的地方。

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