莫利定理的证明方法
该定理以其美妙和证明困难著称，到目前为止，已经有很多证明方法。 设△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3α，3β，3γ，则α+β+γ=60°。
在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。
不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AF=
（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin²γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=
2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.
同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)
∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE
∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，CED=60°+α
FED=180°-CED-(AED-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60
∴△FED为正三角形。 ∵AE：AC=sinγ：sin（α+γ），
AF：AB=sinβ：sin（α+β） ，
AB：AC=sin3γ：sin3β，
∴AE:AF=（ACsinγ/sin（α+γ））：（ABsinβ/sin（α+β）），
而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ），
sin（α+β）sin(60°-β)=sin（α+γ）sin(60°-γ)，
∴AE：AF=sin(60°+β)：sin(60°+γ)，
∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ，
同理∠CED=60°+α，
∴∠DEF=60°，
同理∠DFE=60°，
∴△DEF为正三角形。
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