二阶微分方程求通解
求微分方程 y''+2y'+y=5e^(-x)的通解解：齐次方程 y''+2y'+y=0的特征方程 r²+2r+1=(r+1)²=0的根r₁=r₂=-1；因此齐次方程的通解为：y=[e^(-x)](c₁+c₂x);因为原方程右边的5e^(-x)中的指数所含 -1正好是特征方程的重根，因此要设特解为：y*=ax²e^(-x)..........①y*'=2axe^(-x)-ax²e^(-x)=a(2x-x²)e^(-x)............②y*''=a(2-2x)e^(-x)-a(2x-x²)e^(-x)=a(2-4x+x²)e^(-x)............③将①②③代入原式得：a[(2-4x+x²)+2(2x-x²)+x²]e^(-x)=5e^(-x)即有 2a=5，故a=5/2；∴特解 y*=(5/2)x²e^(-x)；故原方程的通解为：y=[(c₁+c₂x+(5/2)x²]e^(-x);
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